FIBONACCI Y EL NÚMERO AÚREO

¿Qué tienen en común fenómenos naturales tan dispares como la disposición de las semillas de una flor de girasol, la elegante espiral dibujada por las conchas de algunos moluscos y los brazos de la galaxia que nos acoge, la Vía Láctea?

¿Qué pauta geométrica de insuperable armonía se esconde en la obra de grandes artistas y arquitectos, desde Vitruvio a Le Corbusier pasando por Leonardo y Dalí?

Aunque parezca increíble, la respuesta a estos interrogantes es un simple número; una cifra conocida desde la Antigüedad, cuya repetición constante y tozuda en todas las manifestaciones naturales y artísticas le ha merecido apelativos tales como "divina proporción", "número de oro", "proporción áurea". La denominación moderna de este número, es la letra griega phi

Reproducir esta cifra en letra impresa resultaría imposible puesto que está compuesta por un número infinito de dígitos, que además, no siguen pauta alguna.
Podemos utilizar la notación aritmética para conocerla. El número de oro se vuelve así mucho más manejable:

 Otra aproximación a este "número mágico", se puede realizar a través de la geometría. Para ello dibujamos un rectángulo cuyo lado más largo es el resultado de multiplicar el corto por 1,618; es decir, un rectángulo donde la proporción de sus lados es el número de oro (en este caso, un valor muy próximo).
Un rectángulo de estas características recibe el nombre de áureo.

 Un "experimento" con dos tarjetas de crédito cualquiera, nos ofrecerá unos resultados muy curiosos. Si colocamos una de esas tarjetas de forma horizontal y la otra de forma vertical, y las alineamos por sus bases tendremos que al trazar la diagonal de la tarjeta horizontal y prolongarla, coincide exactamente con el vértice superior derecho de la tarjeta vertical.
Esta propiedad es exclusiva de los rectángulos áureos del mismo tamaño. Muchos de los objetos rectangulares cotidianos se han diseñado atendiendo a estas proporciones. Parece que no es fruto de la casualidad. Estos objetos resultan, por alguna razón,  mucho más agradables a la vista que otros.
Muchos artistas de renombre, han dejado ver en su obra la razón áurea y sus distintas manifestaciones. Leonardo da Vinci, Luca Pacioli, Le Corbusier, Dalí...
Este último, realizó un lienzo dedicado a la Última Cena donde la divina proporción posee gran protagonismo. No solo es el lienzo, de 268 por 167 cms, un rectángulo áureo casi perfecto; sino que, presidiendo la sagrada cena, se alza un monumental dodecaedro.

Salvador Dalí en 1955, pintó La Última Cena de Jesucristo con sus Apóstoles que se encuentra hoy en la National Gallery of Art – Washington. Y lo hace colocando la escena en el interior de un dodecaedro. 

Doce son las caras pentagonales del dodecaedro y doce fueron los Apóstoles. Las proporciones que rigen esta composición se rigen por el número de oro. El dodecaedro era el símbolo platónico del Universo, ya que en él se pueden inscribir los otros cuatro poliedros regulares que, decían los Pitagóricos, corresponden a los cuatro elementos (aire, agua, tierra y fuego) presentes a su vez varias veces en los pentágonos regulares.

Si se unen los centros de las caras de un dodecaedro entre sí, se forman tres rectángulos cuyas proporciones son las del número áureo.

También la razón áurea se deja ver en numerosas obras arquitectónicas de todas las épocas, como la Gran Pirámide, o en las catedrales góticas, o en la fachada de la obra maestra de Fidias, el Partenón.

Pero también la naturaleza misma parece otorgar a esta proporción un papel especial a la hora de seleccionar unas formas por encima de otras.  Partiendo del conocido rectángulo áureo, restamos un cuadrado de longitud igual al lado corto de aquél. En este proceso conseguiremos un nuevo rectángulo áureo, de tamaño obviamente menor. Si repetimos el proceso varias veces obtendremos una figura como esta:        

Esta curva elegante, se denomina espiral logarítmica. La podemos reconocer perfectamente en nuestro entorno, desde la concha de los nautilus (quizás el ejemplo más extraordinario de esta espiral áurea; la estructura de su interior se construye añadiendo cámaras de mayor tamaño cada vez pero siempre conservando la forma. Sobre la parte de la concha que permanece se añade otra nueva, exactamente igual, pero más grande) , en la forma de los brazos de las galaxias, en la disposición de los pétalos de una rosa, en las espirales concéntricas que dibujan las pepitas de la flor del girasol, en las espirales que se forman en el brócoli ... como podemos ver en las fotos del inicio. La diferencia fundamental con otras espirales es que se va ensanchando a medida que gira.
Las aves de presa mantienen esa trayectoria cuando se lanzan a cazar. Es la única manera en la que pueden mantener la cabeza recta y sin variarla de posición, con lo que siempre tienen control visual sobre las presas y maximizan la velocidad.
Los insectos trazan también una espiral áurea cuando se acercan a un punto de luz. Si en vez de alejarnos de un punto determinado, queremos acercarnos a él conservando el ángulo de giro, solo podemos hacerlo así.
A simple vista podemos observar que las hojas de cualquier planta no crecen nunca una encima de la otra. Si lo hicieran se ocultarían unas a otras el sol que precisan, así como la lluvia o el oxígeno. Sería Leonardo el primero en desentrañar las claves de la disposición. Se dio cuenta de que las hojas se colocaban siguiendo espirales a lo largo del tallo en grupos de cinco, lo que indica que el ángulo de giro de las hojas tiene que ver con múltiplos de 1/5.
Similar a las hojas es lo sucedido con las ramas de un árbol, que tampoco nacen amontonadas, sino de nuevo en espirales. El tamaño de un árbol va variando a lo largo de su vida, pero su aspecto exterior es el mismo; se mantienen las proporciones entre su altura y la longitud de sus ramas, así como sus formas relativas. Gracias a ello se pueden distinguir en la distancia unas especies de otras sin tener que estudiar con detenimiento sus hojas o su corteza.


Pensemos en el ser humano, el hombre ideal de Leonardo supuso una primera reflexión sobre la presencia del número mágico en el mundo animal. Ya en la Edad Media la medida humana se usaba como patrón. Los constructores de catedrales utilizaban un instrumento de medida consistente en cinco vástagos articulados con las longitudes de la palma, la cuarta, el palmo, el pie y el codo, que correspondían a las magnitudes del brazo humano, además de la longitud del pie.
Todas estas longitudes eran múltiplos de una unidad llamada línea, que equivalía a poco menos de 2,5 mm (más exactamente 2,247). Estas líneas son términos sucesivos de una serie, conocida como de Fibonacci.
Palma= 34 líneas= 7,64 cms
cuarta=55 líneas= 12,63 cms
palmo=89 líneas= 20 cms
pie=144 líneas=32,36 cms
codo=233 líneas= 52,36 cms
Ahora podemos introducir otro concepto matemático: la sucesión de Fibonacci. Dicha serie numérica, descrita por ese matemático italiano del que hablaré más adelante, en el siglo XIII, arranca con los valores 1 y 1, a partir de los cuales cada nuevo término se genera con la suma de los dos anteriores.
Los quince primeros números de esta serie infinita son los siguientes:
                                1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610
El cociente entre un término cualquiera de la sucesión y su antecedente se aproxima al número áureo a medida que avanzamos a lo largo de la serie:


1/1= 1
2/1= 2
3/2= 1,5
5/3= 1,666...
8/5= 1,6
13/8= 1,625
21/13= 1,615348...
34/21= 1,61904
55/34= 1,61764
89/55= 1,61818
144/89= 1,61798


Sabemos que el número áureo es 1,6180339887....
Cuando se alcanza el término cuadragésimo de la sucesión, el cociente se aproxima al número de oro con una precisión de 14 decimales. Las relaciones entre la sección áurea y la sucesión de Fibonacci son múltiples e insospechadas, como las que muestran los ejemplos que hemos visto anteriormente.

Pero, ¿quién era este tal Fibonacci?.

Leonardo Pisano, Fibonacci (1170 - 1250).

Nació en Pisa en 1170. Su apodo denota su origen familiar, de hecho Fibonacci viene a significar "hijo de Boanacci" (figlio de Bonacci). El padre de nuestro amigo Leonardo Pisano, Guglielmo (Guillermo) era conocido con el apodo de Bonacci (simple o bien intencionado). Como ya apunté, Leonardo recibió póstumamente el apodo de Fibonacci (por filius Bonacci, hijo de Bonacci). 

Guglielmo dirigía un puesto de comercio en Bugía (según algunas versiones era el cónsul de Pisa), en el norte de África (hoy Bejaia, Argelia), y de niño Leonardo viajó allí para ayudarlo. Allí aprendió el sistema de numeración árabe. Parece ser que se inició en la matemáticas desde la contabilidad que su padre le enseño en el comercio que regentaba.

Consciente de la superioridad de los numerales árabes, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo para estudiar con los matemáticos árabes más destacados de ese tiempo, regresando cerca de 1200. En 1202, a los 32 años de edad, publicó lo que había aprendido en el Liber Abaci (libro del ábaco o libro de los cálculos). Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculo, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones. En estas páginas describe el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos, los criterios de divisibilidad. El libro fue recibido con entusiasmo en la Europa ilustrada, y tuvo un impacto profundo en el pensamiento matemático europeo.

Leonardo fue huésped del Emperador Federico II, que se interesaba en las matemáticas y la ciencia en general. En 1240, la República de Pisa lo honra concediéndole un salario permanente (bajo su nombre alternativo de Leonardo Bigollo).
La obra más conocida de Fibonacci trata sobre el cálculo y se llama "El Liber abaci". Publicado en 1202, tiene un título engañoso, pues en él se trata de demostrar las ventajas de las cifras árabes para el cálculo frente a los métodos habituales de la Italia de la época, donde los abacistas empleaban el ábaco y los números romanos.
El libro contiene problemas de álgebra de primer grado, teoría de los números, supuestos de contabilidad mercantil, etc. Pero el más conocido de todos los problemas propuestos es el famosos problema de los conejos, cuya solución es la famosa sucesión que hoy se conoce con el nombre de Fibonacci.
El enunciado del problema dice así: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?.


Para resolverlo, Fibonacci, siguiendo las técnicas contables aprendidas de sus padre, realizó una tabla. En ella desglosaba el crecimiento de su familia de conejos y hacía un seguimiento del número de parejas que tenía al acabar cada mes. La columna final muestra el número total de conejos.
Tras un primer vistazo a la tabla, se observa un curioso comportamiento en la sucesión: cada término se obtiene como suma de los dos que le preceden.